Wie leitet man Brüche ab? - So geht's

1/xⁿ - so werden einfache Brüche abgeleitet

Die einfachste Form einer Funktion mit Brüchen ist f(x) = 1/xⁿ, wobei n eine natürliche Zahl ist. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = 1/x², vielen als Hyperbel bekannt.

1. Funktionen dieser Art leitet man am einfachsten ab, indem man zuerst die funktionalen Brüche in eine negative Hochzahl umwandelt: f(x) = 1/xⁿ = x^-n
2. Bei der Ableitung folgen Sie nun der ganz normalen Ableitungsregel, die Sie auch für Funktionen der Art f(x) = xⁿ kennen. Hier gilt nämlich (evtl. in der Formelsammlung noch mal kurz nachlesen): f'(x) = n _* x^n-1
3. Wenden sie diese Ableitungsregel nun auf f(x) = x^-n an. Sie erhalten für die Ableitung f'(x) = -n _* x^-n-1
4. Die etwas unhandliche negative Potenz wandeln Sie dann wieder in Brüche um: f'(x) = -n/xⁿ⁺¹


2 durch x ableiten - so funktioniert's bei gebrochen-rationalen Funktionen

Wenn Sie die Funktion "2 durch x" ableiten wollen, können Sie dies mit ein bisschen Geschick und …

5. Als Beispiel bilden Sie die Ableitung von f(x) = 1/x² = x^-2 und erhalten nach dieser Regel: f'(x) = -2/x³

Komplizierte Funktionsbrüche ableiten - so gehen Sie vor

Gemeint sind in diesem Fall kompliziertere gebrochen rationale Funktionen, bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner Terme mit der Variablen "x" vorkommen, also in der Art f(x) = u/v, wobei u und v selbst Polynome sind. Ein Beispiel ist f(x) = (x² - 1)/x³.

• Auch für solche Funktionen gibt es eine Regel zum Berechnen der Ableitung, nämlich die Quotientenregel (ebenfalls in Formelsammlung nachschauen).
• Sie lautet (in vereinfachter, schülergerechter Form): f'(x) = (u' * v - v' * u)/v². Dabei sind u und v wieder Zähler bzw. Nenner der Funktion f(x), die Sie ableiten wollen. u' und v' sind jeweils die Ableitungen davon.
• Um bei dieser etwas unübersichtlichen Formel keine Fehler zu machen, sollten Sie sich vorab eine Art Tabelle aufstellen, in der Sie die einzelnen Funktionsbestandteile u und v sowie deren Ableitungen u' und v' aufschreiben.
• Erst dann setzen Sie aus dieser Tabelle heraus die einzelnen Teile in die Quotientenregel ein.

Brüche ableiten - ein durchgerechnetes Beispiel

Als Beispiel nehmen Sie wieder die Funktion f(x) = (x² - 1)/x³, die abgeleitet werden soll.

1. In Ihrer Tabelle sollten die Bestandteile stehen (Ableitungen bilden. u = x² - 1 sowie u' = 2x sowie v = x³ und v' = 3 x² und v² = x⁶
2. Diese Teile setzen Sie jetzt in die Formel für die Ableitung ein und erhalten: f'(x) = [2x _* x³ - 3x² _* (x²-1)]/x⁶
3. Die komplizierte eckige Klammer sollten Sie noch ausrechnen. Es ergibt sich: f'(x) = (2x³ - 3x⁴ + 3x²)/x⁶
4. Geschickte und erfahrene Rechner erkennen jetzt, dass jeder Termteil noch durch x² gekürzt werden kann, was die Ableitung (etwas) vereinfacht. Sie erhalten f'(x) = (2x - 3x² + 3)/x⁴
5. Gut sieht es aus, wenn Sie dann den Zähler des Bruches noch nach Potenzen sortieren: f'(x) = (-3x² + 2x +3)/x⁴.

Leider werden gebrochen rationale Funktionen beim Ableiten meist komplizierter!